余数

在算术中，当两个整数相除的结果不能以整数商表示时，余数便是其“余留下的量”。当余数为零时，被称为整除。

自然数的余数

如果a和d是两个自然数，d非0，可以证明存在两个唯一的整数q和r，满足a = qd + r 且0 ≤ r < d。其中，q被称为商, r被称为余数。带余除法是一个关于如何计算余数的算法，其中提供了对此结果的证明。

例子

13除以10，商为1，余数为3，13=1×10+3或13÷10=1…3。
26除以4，商为6，余数为2，26=6×4+2或26÷4=6…2。
56除以7，商为8，余数为0，56=8×7+0或56÷7=8。
9除以10，商为0，余数为9，9=0×10+9或9÷10=0…9。（当被除数小于除数时，我们以被除数为余数。）

一般整数的余数

如果a 与d 是整数，d 非零，那么余数r 满足这样的关系：

a = qd + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。

当这样定义时，可能导致两种可能的余数。例如，除法式子（−42) / (−5）的可以表达为

−42 = 9×(−5) + 3（在数学工作者中使用较多）

或

−42 = 8×(−5) + (−2).

即余数可能是3或−2。

这种对余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于处理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。在一些组合语言系统中，会有特殊的除法指令，设定余数和被除数同号。

在上面的例子，负余数为正余数减5得来，5即是除数d.通常，当除以d 时，如果正余数为r₁，负余数为r₂，那么

r₂ = r₁ + d.

Python2.7语言定义的除法中，不能整除的情况下，余数与除数同号，例如 (−42) / (−5) 表达为

−42 = 8×(−5) + (−2)

而 42 / (-5) 则表达为

42 = (−9)×(−5) + (-3)

实数的余数

当a 和d 是实数，且d 非零, a 除以d 会得到另一个实数（商），没有所谓的剩余的数.但如果要求商为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商q 和唯一的实数r 使得: a = qd + r, 0≤ r < |d|.在整数除法里，余数可以要求为负，即满足关系: -|d| < r ≤ 0.

如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要;尽管如此，很多程序语言都实现了这个定义—参同余.

参见