初等代数 是一个初等且相对简单形式的代数 ,教导对象为还没有数学 算术 方面正规知识的学生们。当在算术中只有数字 与其运算(如:加 、减 、乘 、除 )出现时,在代数 中也会使用字母符号 诸如
x
{\displaystyle x}
、
y
{\displaystyle y}
或
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
等表示数字 ,习惯上用前者表示未知数 与变量 ,用后者表示任意的已知数。随着内容的深入,代数中还会使用诸如
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
、
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
、
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(g(x))}
、
f
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle f(x_1, x_2)}
等映射 符号来表示关于某个字母符号的代数式 。
这是很有用的,因为:
它使得算术等式 (或不等式 )可以被描述成命题 或定理 (如:
∀
{\displaystyle \forall }
实数
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
,
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a + b = b + a}
),因此这是系统化学习实数 性质的第一步。
它允许涉及未知的数字。在一个问题的内容里,变量或许代表某一还不确定,但可能可以经由方程的规划及操纵来解开的数值。
它允许探究数量之间的数学关系的可能(如“若你卖了
x
{\displaystyle x}
张票,你的收益将有
(
3
x
+
10
)
{\displaystyle (3x+10)}
元”)。
这三个是初等代数的主要组成部分,以区隔其与目的为教导大学生更高深主题的抽象代数 的不同。
在初等代数里,表示式 包含有数字、变量及运算。它们通常把较高次项(习惯上)写在表示左边(参考多项式 ),举几个例子来说:
x
+
3
{\displaystyle x + 3}
y
2
+
2
x
−
3
{\displaystyle y^{2} + 2x - 3}
z
7
+
a
(
b
+
x
3
)
+
42
/
y
−
π
{\displaystyle z^{7} + a(b + x^{3}) + 42/y - \pi}
。
在更进阶的代数里,表示式也会包含有初等函数 。
一个等式 表示其等号两边的表示式是相等的。某些等式对于其中变量的所有取值都成立(如
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a + b = b + a}
);这种等式称为恒等式 。而其他只有变量在某些值时才正确(如
x
2
−
1
=
4
{\displaystyle x^{2} - 1 =4}
),此一使等式成立的变量值则称为这等式的解 。
初等代数定理
与代数运算相关的定理 [1]
加法 是一可交换 的运算(两个数不论顺序为何,它加起来的总和都一样)。
减法 是加法的逆运算。
减去一个数和加上一个此数的负数 是一样意思的:
a
−
b
=
a
+
(
−
b
)
{\displaystyle a - b = a + (-b) }
例如:若
5
+
x
=
3
{\displaystyle 5 + x = 3}
,则
x
=
−
2
{\displaystyle x = -2}
。
乘法 是一可交换的运算。
除法 是乘法的逆运算。
除去一个数和乘上一个此数的倒数 是一样意思的:
a
b
=
a
⋅
1
b
{\displaystyle {a \over b} = a \cdot {1 \over b} }
例如:若
3
x
=
2
{\displaystyle 3 x = 2}
,则
x
=
2
/
3
{\displaystyle x = 2/3}
。
幂 不是一可交换的运算。
但幂却有两个逆运算:对数 和 开方 (如平方根 )。
例如:若
3
x
=
10
{\displaystyle 3^x = 10}
,则
x
=
log
3
10
{\displaystyle x = \log_3 10}
。
例如:若
x
2
=
10
{\displaystyle x^{2} = 10}
,则
x
=
10
C
{\displaystyle x = {\sqrt {10}}_\C}
,即
x
1
=
10
R
{\displaystyle x_1 = {\sqrt {10}}_\R}
,
x
2
=
−
10
R
{\displaystyle x_2= -{\sqrt {10}}_\R}
。
负数的平方根不存在于实数内。(参考:复数 )
加法的结合律 性质:
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle (a + b) + c = a + (b + c)}
。
乘法的结合律性质:
(
a
b
)
c
=
a
(
b
c
)
.
{\displaystyle (ab)c = a(bc).}
。
对应加法的乘法分配律 性质:
c
(
a
+
b
)
=
c
a
+
c
b
{\displaystyle c(a + b) = ca + cb}
。
对应乘法的幂分配律性质:
(
a
b
)
c
=
a
c
b
c
{\displaystyle (a b)^c = a^c b^c}
。
幂的乘法:
a
b
a
c
=
a
b
+
c
{\displaystyle a^b a^c = a^{b+c}}
。
幂的幂:
(
a
b
)
c
=
a
b
c
{\displaystyle (a^b)^c = a^{bc}}
。
与“等于”相关的定理
若
a
=
b
{\displaystyle a = b}
且
b
=
c
{\displaystyle b = c}
,则
a
=
c
{\displaystyle a = c}
(等于 的传递律 )。
a
=
a
{\displaystyle a = a}
(等于的自反性 )。
若
a
=
b
{\displaystyle a = b}
,则
b
=
a
{\displaystyle b = a}
(等于的对称性 )。
若
a
−
b
=
n
{\displaystyle a - b = n}
,则
a
2
−
b
2
=
n
a
+
n
b
{\displaystyle a^2 - b^2 = na+nb}
。
其他定理
若
a
=
b
{\displaystyle a = b}
且
c
=
d
{\displaystyle c = d}
,则
a
+
c
=
b
+
d
{\displaystyle a + c = b + d}
。
若
a
=
b
{\displaystyle a = b}
,则对任一 c ,
a
+
c
=
b
+
c
{\displaystyle a + c = b + c}
(等于的可加性)。
若
a
=
b
{\displaystyle a = b}
且
c
=
d
{\displaystyle c = d}
,则
a
c
{\displaystyle ac}
=
b
d
{\displaystyle bd}
。
若
a
=
b
{\displaystyle a = b}
,则对任一 c ,
a
c
=
b
c
{\displaystyle ac = bc}
(等于的可乘性)。
若两个符号相等,则一个总是能替换另一个(替换原理)。
若
a
>
b
{\displaystyle a > b}
且
b
>
c
{\displaystyle b > c}
,则
a
>
c
{\displaystyle a > c}
(不等式 的传递律)。
若
a
>
b
{\displaystyle a > b}
,则对任一 c ,
a
+
c
>
b
+
c
{\displaystyle a + c > b + c}
。
若
a
>
b
{\displaystyle a > b}
且
c
>
0
{\displaystyle c > 0}
,则
a
c
>
b
c
{\displaystyle ac > bc}
。
若
a
>
b
{\displaystyle a > b}
且
c
<
0
{\displaystyle c < 0}
,则
a
c
<
b
c
{\displaystyle ac < bc}
。
例子
一元一次方程
最简单的方程为一元一次方程,它们是含有一个常数和一没有幂的变量。例如:
2
x
+
4
=
12.
{\displaystyle 2x + 4 = 12. \,}
其中心解法为在等式的两边同时以相同数字做加、减、乘、除,以使变量单独留在等式的一侧。一旦变量独立了,等式的另一边即是此变量的值。例如,将上面式子两边同时减去4:
2
x
+
4
−
4
=
12
−
4
{\displaystyle 2x + 4 - 4 = 12 - 4 \,}
,
简化后即为
2
x
=
8.
{\displaystyle 2x = 8. \,}
再同时除以2 :
2
x
2
=
8
2
{\displaystyle \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \,}
再简化后即为答案:
x
=
4.
{\displaystyle x = 4. \,}
一般的情形
a
x
+
b
=
c
{\displaystyle ax+b=c}
也可以依同样的方式得出答案来:
x
=
c
−
b
a
{\displaystyle x=\frac{c-b}{a}}
【这就是一元一次方程简单的说明】
一元二次方程
一元二次方程 可以表现成
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
{\displaystyle ax^{2} + bx + c = 0,}
在这
a
{\displaystyle a}
不等于零(假如
a
{\displaystyle a}
等于零,则此方式为一次方程式,而非二次方程式)。二次方程式必须保持二次的形态,如
a
x
2
{\displaystyle ax^{2}}
,二次方程式可以通过因式分解 求解(多项式展开 的逆过程),或者一般地使用二次方程求根公式 。因式分解的举例:
x
2
+
3
x
=
0.
{\displaystyle x^{2} + 3x = 0. \,}
这相当于
x
(
x
+
3
)
=
0.
{\displaystyle x(x + 3) = 0. \,}
0 和 -3 是它的解,因为把
x
{\displaystyle x}
置为 0 或 -3 便使上述等式成立。
所有二次方程式在复数 体系中都有两个解,但是在实数 系统中却不一定,例如:
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2} + 1 = 0 \,}
没有实数解,因为没有实数的平方是 -1。
有时一个二次方程式会有2重根,例如:
(
x
+
1
)
2
=
0.
{\displaystyle (x + 1)^{2} = 0. \,}
在这个方程中,-1是2重根。
线性方程组
在线性方程组 内,如两个变量的方程组内有两个方程式的话,通常可以找出可同时满足两个方程式的两个变量。
下面为线性方程组的一个例子,有两个求解的方法:
4
x
+
2
y
=
14
{\displaystyle 4x + 2y = 14 \,}
2
x
−
y
=
1.
{\displaystyle 2x - y = 1. \,}
求解的第一种方法
将第2个等式的左右项各乘以2,
4
x
+
2
y
=
14
{\displaystyle 4x + 2y = 14 \,}
4
x
−
2
y
=
2.
{\displaystyle 4x - 2y = 2. \,}
再将两式相加,
8
x
=
16
,
{\displaystyle \, 8x = 16,}
上式可化简为
x
=
2.
{\displaystyle x = 2. \,}
因为已知
x
=
2
{\displaystyle x=2}
,于是就可以由两式中的任意一个推断出
y
=
3
{\displaystyle y=3}
。所以这个问题的完整解为
{
x
=
2
y
=
3.
{\displaystyle \begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,}
注意:这并不是解这类特殊情况的唯一方法;
y
{\displaystyle y}
也可以在
x
{\displaystyle x}
之前求得。
求解的第二种方法
另一种求解的方法为替代。
{
4
x
+
2
y
=
14
2
x
−
y
=
1.
{\displaystyle \begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1.\end{cases} \,}
y
{\displaystyle y}
的等值可以由两个方程式中的其中一种推出。我们使用第二个方程:
2
x
−
y
=
1
{\displaystyle 2x - y = 1 \,}
由方程的两边减去
2
x
{\displaystyle 2x}
:
2
x
−
2
x
−
y
=
1
−
2
x
{\displaystyle 2x - 2x - y = 1 - 2x \,}
−
y
=
1
−
2
x
{\displaystyle - y = 1 - 2x \,}
再乘上 -1:
y
=
2
x
−
1.
{\displaystyle y = 2x - 1. \,}
将此
y
{\displaystyle y}
值放入原方程组的第一个方程式:
4
x
+
2
(
2
x
−
1
)
=
14
{\displaystyle 4x + 2(2x - 1) = 14 \,}
4
x
+
4
x
−
2
=
14
{\displaystyle 4x + 4x - 2 = 14 \,}
8
x
−
2
=
14
{\displaystyle 8x - 2 = 14 \,}
在方程的两端加上 2:
8
x
−
2
+
2
=
14
+
2
{\displaystyle 8x - 2 + 2 = 14 + 2 \,}
8
x
=
16
{\displaystyle 8x = 16 \,}
此可简化成
x
=
2
{\displaystyle x = 2 \,}
。
将此值代回两个方程式中的一个,可求得和上一个方法所求得的相同解答。
{
x
=
2
y
=
3.
{\displaystyle \begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,}
注意:这并不是解这类特殊情况的唯一方法;在这个方法里也是一样的,
y
{\displaystyle y}
也可以在
x
{\displaystyle x}
之前求得。
另见
参考
脚注
↑ Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress . p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.