六边形

正六边形
	一个正六边形
类型	正多边形
边	6
顶点	6
对角线	9
施莱夫利符号	{6}; t (6) / 2
考克斯特图	;
对称群	二面体群 (D6), order 2×6
面积	;
内角（度）	120°
内角和	720°
对偶	正六边形 (本身)
特性	凸、圆内接多边形、等边多边形、等角多边形、isotoxal figure

在几何学中，六边形是指有六条边和六个顶点的多边形^[1]，其内角和为720度^[2]。六边形有很多种，其中对称性最高的是正六边形。正六边形是一种可以使用尺规作图的六边形，也可以拼满平面，因此自然界中可以找到许多正六边形的结构，如蜂巢、玄武岩^[3]和苯的分子结构^[4]。另外，正六边形也可以构成一些高对称性的多面体，如截角二十面体，巴克明斯特富勒烯的分子结构就是这种形状。

六边形依照其类角的性质可以分成凸六边形和非凸六边形，其中凸六边形代表所有内角的角度皆小于180度。非凸六边形可以在近一步分成凹六边形和星形六边形，其中星形六边形表示边自我相交的六边形。

正六边形

正六边形是每条边等长、每个角相等的六边形，在施莱夫利符号中可以用 $\left \{ 6 \right \}$ 来表示^[5]。正六边形亦可以将正三角形透过截角变换来构造，即切去正三角形的三个顶点，因此正六边形在施莱夫利符号中亦可以写为 $t\left \{ 3 \right \}$ 。但若截角深度太深或太浅都会产生一种具有两个不同边长的六边形。

一个利用尺规作图构造正六边形的逐步动画，这个方法由欧几里得的几何原本第四卷第15章给出^[6]。六边形之所以为可作图多边形是因为边长

6 = 2 \times 3

，是2个费马数的乘积。

若已给定六边形的其中一边AB的边长，就分别以A和B为圆心、半径AB画弧，其交点M就是这个正六边形的外接圆圆心。画出外接圆后依序将AB线段复制到到圆周上，则可以绘制出正六边形

正六边形是一个同时具有边可递和点可递特性的六边形，是一种双心多边形，这意味着它同时具有内切圆和外接圆。

正六边形边的长度与其外接圆半径相等，且等于边心距的 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 倍，其中，边心距与内切圆半径相等。正六边形的每个内角都是120度，且具有6次的旋转对称性（阶数为6的旋转对称性）和6轴对称性（有6个对称轴的轴对称性），组成了D₆二面体群的对称性。正六边形最长的对角线是两侧顶点的对角线，其长度恰好为边长的两倍，因此若有一个三角形其中一个顶点位于六边形几何中心、其中一条边与六边形共用，则这个三角形是正三角形，且正六边形可以分割成6个此三角形。

正六边形是其中一种能够密铺平面的正多边形，其余两种为正三角形和正方形。如同正方形和正三角形一样，正六边形可以经过重复的排列和组合，形成没有空隙或重叠的几何图形，这种图行每个顶点都是3个六边形的公共顶点，并形成一个很紧密的二维空间充填，也因此大部分的蜂窝都会将其的每个蜂房做成六边形，使其能够有效地利用空间和建材^[7]。另外，正三角形镶嵌的沃罗诺伊图是正六边形镶嵌。虽然具有等边的特性，但并不常被当作等边多边形。

参数

正六边形的最大直径 $D$ 是最大半径或外接圆半径 $R$ 的两倍，其外接圆半径 $R$ 与边长 $t$ 等长。

\frac{1}{2}d = r = \cos(30^\circ) R = \frac{\sqrt{3}}{2} R

正六边形的面积为：
（ $R$ 为外接圆半径、 $r$ 为内接圆半径、 $D$ 为外接圆直径＝六边形对角长、 $d$ 为内接圆直径＝六边形对边长）

{\displaystyle \begin{align} A &= \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 = 3Rr = 2\sqrt{3} r^2 \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{8}D^2 = \frac{3}{4}Dd = \frac{\sqrt{3}}{2} d^2 \\ &\approx 2.598 R^2 \approx 3.464 r^2\\ &\approx 0.6495 D^2 \approx 0.866 d^2 \end{align}}

也可以利用其边心距套用任意正多边形公式求得：

{\displaystyle \begin{align} A &= \frac{ap}{2} \\ &= \frac{r \cdot 4r\sqrt{3}}{2} = 2r^2\sqrt{3} \\ &\approx 3.464 r^2, \end{align}}

正六边形可以单单用圆规直尺绘画。因为当正六边形内接于圆时，圆的半径刚好等于正六边形的边长，正六边形最长的对角线就等于圆的直径。中国古代对圆周和直径的关系有“周三径一”之说，可以视为采用正六边形为圆的近似图形求得的结果。

正六边形尺规作图

下面是正六边形的尺规作图，共三步。

画一条水平线，通过此线上的任意点做一个圆。
以该圆与线的交点为圆心，分别画出与该圆半径相同的圆，与该圆交于4点。
依顺序联结这4个点和该圆与水平线的交点即成正六边形。

面积

正六边形

因为正六边形由六个等边三角形组成，所以：

正六边形的面积=三角形面积×6= $\frac{\sqrt 3}{4} \times a^2 \times 6 = \frac{3}{2} a^2 \sqrt{3}$

这些等边三角形的高是正六边形内切圆的半径，即 $\frac{\sqrt 3}{2} a$ 。

六边形的密铺平面

有多种六边形可以独立密铺平面，换句话说即该六边形反复拼接可以无空隙地填满整个平面^[8]^[9]

对称性	p6m (*632)	cmm (2*22)	p2 (2222)	p31m (3*3)	pmg (22*)		pg (××)
图形	r12	i4	g2	d2	d2	p2	a1

扭歪六边形

扭歪六边形，又称不共面六边形，是指顶点并非完全共面的六边形

多面体上的扭歪六边形
立方体^[10]	正八面体

皮特里多边形

一些正扭歪六边形来自于高维多胞体的皮特里多边形。

4D		5D
三角三角柱体柱	三角三角锥体锥	正五胞体

多面体的截面

部分多面体具有六边形的截面，例如立方体^[11]^[13]、正八面体^[14]和正十二面体^[15]。在立方体中，六边形的截面穿过对边的中点^[10]^[16]^[14]。

立方体的正六边形截面

自然中的六边形

由于正六边形具有高度对称性，且可以无空隙地填满整个平面，这种形状称为正六边形镶嵌，其顶点排布称为六边形网格（英语：Hexagonal Grid）^[17]。以这些顶点为几何中心的圆形可以构成二维空间中可能的圆形镶嵌中最紧密的一种排布^[18]，其牛顿数^[19]为6^[20]^[21]，也因此自然界经常出现许多正六边形的结构，例如蜂巢^[7]、玄武岩^[3]和一些化学物质的分子结构^[4]。

在太空中，亦有其他自然形成的六边形，例如土星极区的云层呈现六边形，被称为土星六边形。^[22]^[23]

石墨的分子结构
蜂巢
龟壳
由旅行者1号发现、2006年被惠更斯号确认的土星北极的六边形风暴^[24]^[25]^[26]
苯的分子结构
玄武岩
一些六方晶系矿物的结晶
六角的雪花^[27]
土星六边形

土星六边形

文化

由于法国的领土像一个六边形，因此法国人也经常用“六边形”（L'Hexagone）一词来指代法国。1988年发行的戴高乐1法郎硬币上，就印有代表法国的六边形。

参考文献

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